Eigenschaften der Raute
Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, bei dem zusätzlich alle vier Seiten gleich lang sind. Dadurch hat sie einige spezielle Eigenschaften:
| Eigenschaft | Beschreibung |
|---|---|
| Seiten | Alle vier Seiten gleich lang: \(a = b = c = d\) |
| Parallele Seiten | Gegenüberliegende Seiten parallel |
| Winkel | Gegenüberliegende Winkel gleich groß |
| Diagonalen | Stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich |
| Symmetrie | Punktsymmetrisch und achsensymmetrisch (2 Achsen) |
Raute vs. Quadrat: Ein Quadrat ist eine besondere Raute, bei der alle Winkel 90° betragen. Jedes Quadrat ist also eine Raute – aber nicht jede Raute ist ein Quadrat!
Flächeninhalt berechnen
Da die Diagonalen der Raute senkrecht aufeinander stehen und sich gegenseitig halbieren, teilen sie die Raute in vier gleich große rechtwinklige Dreiecke. Die Fläche lässt sich daher besonders einfach über die Diagonalen berechnen:
Produkt der Diagonalen geteilt durch 2
Da die Raute auch ein Parallelogramm ist, gilt alternativ:
Seitenlänge × Höhe
Beispiel 1: Mit Diagonalen
Beispiel 2: Mit Seitenlänge und Höhe
\(A = 8 \cdot 6 = 48\) cm²
Umfang berechnen
Da alle vier Seiten gleich lang sind, ist die Berechnung besonders einfach:
\(U = 4 \cdot 7 = 28\) cm
Diagonalen berechnen
Die Diagonalen der Raute halbieren sich gegenseitig im rechten Winkel. Wenn du eine Diagonale und die Seitenlänge kennst, kannst du die andere Diagonale mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Weil die halben Diagonalen mit der Seite ein rechtwinkliges Dreieck bilden
Umkehraufgaben
Aus der Fläche und einer Diagonale die andere Diagonale berechnen:
\(d_2 = \frac{2 \cdot 40}{10} = \frac{80}{10} = 8\) cm
Alle Formeln auf einen Blick
| Berechnung | Formel |
|---|---|
| Flächeninhalt (Diagonalen) | \(A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\) |
| Flächeninhalt (Höhe) | \(A = a \cdot h\) |
| Umfang | \(U = 4 \cdot a\) |
| Diagonale (Pythagoras) | \(a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2\) |
| Seitenlänge aus Diagonalen | \(a = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}\) |
Häufige Fehler vermeiden
- Raute mit Quadrat verwechseln: Nicht jede Raute ist ein Quadrat! Die Winkel müssen nicht 90° sein.
- Diagonalen nicht halbieren: Beim Pythagoras-Ansatz musst du die halben Diagonalen verwenden, nicht die ganzen!
- Diagonalenlängen statt Seitenlänge verwenden: Die Diagonalen sind in der Regel nicht gleich lang wie die Seiten.
- Das Teilen durch 2 vergessen: Bei der Flächenformel \(A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\) nicht das Halbieren vergessen!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Berechne die Fläche einer Raute mit d₁ = 12 cm und d₂ = 8 cm.
Wie groß ist der Umfang einer Raute mit a = 9 cm?
Welche Aussage über die Raute ist richtig?
A = 54 cm², d₁ = 12 cm. Wie lang ist d₂?
Eine Raute hat a = 13 cm und d₁ = 24 cm. Wie lang ist d₂?
Eine Raute hat d₁ = 24 cm und d₂ = 10 cm. Wie groß ist die Fläche und der Umfang?