Eigenschaften des Quadrats
Das Quadrat vereint die Eigenschaften von Rechteck und Raute:
| Eigenschaft | Beschreibung |
|---|---|
| Seiten | Alle vier Seiten gleich lang |
| Winkel | Alle vier Winkel = 90° |
| Parallele Seiten | Beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel |
| Diagonalen | Gleich lang, halbieren sich, stehen senkrecht aufeinander |
| Symmetrie | 4 Symmetrieachsen + punktsymmetrisch |
Merke: Das Quadrat ist der Spezialfall aller anderen Vierecke. Es ist gleichzeitig ein Rechteck (alle Winkel 90°), eine Raute (alle Seiten gleich) und ein Parallelogramm (gegenüberliegende Seiten parallel).
Flächeninhalt berechnen
Da alle Seiten gleich lang sind, ist die Flächenberechnung besonders einfach – Seite mal Seite:
Seitenlänge zum Quadrat
Deshalb heißt es „Quadrat"! Die Rechenoperation \(a^2\) heißt „a zum Quadrat", weil sie genau der Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge \(a\) entspricht.
Beispiel 1: Einfaches Quadrat
Beispiel 2: Sachaufgabe
\(A = 4{,}5^2 = 20{,}25\) m²
Umfang berechnen
\(U = 4 \cdot 12 = 48\) cm
Diagonale berechnen
Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Mit dem Satz des Pythagoras:
Umkehraufgaben
Aus der Fläche oder dem Umfang die Seitenlänge berechnen:
Aus Diagonale: \(a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d \cdot \sqrt{2}}{2}\)
\(a = \sqrt{64} = 8\) cm
\(a = \frac{52}{4} = 13\) cm
Alle Formeln auf einen Blick
| Berechnung | Formel |
|---|---|
| Flächeninhalt | \(A = a^2\) |
| Umfang | \(U = 4a\) |
| Diagonale | \(d = a\sqrt{2}\) |
| Seite aus Fläche | \(a = \sqrt{A}\) |
| Seite aus Umfang | \(a = \frac{U}{4}\) |
| Seite aus Diagonale | \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\) |
Häufige Fehler vermeiden
- Fläche und Umfang verwechseln: Fläche = \(a^2\) (in cm²), Umfang = \(4a\) (in cm). Bei \(a = 5\) ist \(A = 25\) cm² und \(U = 20\) cm.
- Diagonale = Seite annehmen: Die Diagonale ist immer länger als die Seite (\(d = a\sqrt{2} \approx 1{,}41 \cdot a\)).
- Quadratwurzel vergessen: Wenn die Fläche gegeben ist, musst du die Wurzel ziehen: \(a = \sqrt{A}\), nicht \(a = \frac{A}{2}\).
- Einheiten vergessen: Fläche immer in cm² (Quadrateinheiten), Umfang in cm.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Berechne die Fläche: a = 9 cm
Berechne den Umfang: a = 11 cm
A = 144 cm². Wie lang ist die Seite?
Welche Eigenschaft hat ein Quadrat, die ein Rechteck NICHT hat?
Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit a = 6 cm? (gerundet)
U = 60 cm. Wie groß ist die Fläche des Quadrats?