Eigenschaften des Parallelogramms
Das Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Dadurch ergeben sich wichtige Eigenschaften:
| Eigenschaft | Beschreibung |
|---|---|
| Parallele Seiten | Zwei Paare: \(a \parallel c\) und \(b \parallel d\) |
| Seitenlängen | Gegenüberliegende Seiten gleich lang: \(a = c\) und \(b = d\) |
| Winkel | Gegenüberliegende Winkel gleich groß, Nebenwinkel ergänzen sich zu 180° |
| Diagonalen | Halbieren sich gegenseitig (sind aber nicht gleich lang) |
| Symmetrie | Punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen |
Spezialfälle: Rechteck (alle Winkel 90°), Raute (alle Seiten gleich lang) und Quadrat (beide Bedingungen) sind besondere Parallelogramme.
⚠️ Achtung: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich zwar, sind aber im Allgemeinen nicht gleich lang und stehen nicht senkrecht aufeinander. Das sind Sonderfälle (Rechteck bzw. Raute).
Flächeninhalt berechnen
Die Fläche eines Parallelogramms ist Grundseite mal Höhe – genauso wie beim Rechteck. Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten.
Grundseite × zugehörige Höhe
Warum dieselbe Formel wie beim Rechteck? Wenn du ein Parallelogramm an einer Seite „abschneidest" und das Dreieck auf die andere Seite verschiebst, erhältst du ein Rechteck. Die Fläche bleibt gleich!
Beispiel 1: Einfaches Parallelogramm
Beispiel 2: Andere Grundseite
Beide Paare ergeben dieselbe Fläche: \(A = 10 \cdot 6 = 60\) cm² und \(A = 8 \cdot 7{,}5 = 60\) cm²
Umfang berechnen
Da gegenüberliegende Seiten gleich lang sind:
\(U = 2 \cdot (10 + 7) = 2 \cdot 17 = 34\) cm
Die richtige Höhe finden
Die Höhe steht immer senkrecht auf der gewählten Grundseite. Im Parallelogramm gibt es zwei verschiedene Höhen:
| Grundseite | Zugehörige Höhe |
|---|---|
| Seite \(a\) | Höhe \(h_a\) (senkrecht auf \(a\)) |
| Seite \(b\) | Höhe \(h_b\) (senkrecht auf \(b\)) |
Es gilt immer: \(a \cdot h_a = b \cdot h_b\) (die Fläche ist gleich, egal welches Paar du verwendest).
⚠️ Wichtig: Die Höhe ist nicht die Seitenlänge \(b\)! Die Seite \(b\) ist nur dann gleich der Höhe, wenn das Parallelogramm ein Rechteck ist (also alle Winkel 90° betragen).
Umkehraufgaben
\(h = \frac{84}{12} = 7\) cm
\(g = \frac{45}{5} = 9\) cm
Vergleich: Parallelogramm und andere Vierecke
| Viereck | Parallele Seiten | Gleiche Seiten | Winkel |
|---|---|---|---|
| Parallelogramm | 2 Paare | Gegenüberl. gleich | Gegenüberl. gleich |
| Rechteck | 2 Paare | Gegenüberl. gleich | Alle 90° |
| Raute | 2 Paare | Alle gleich | Gegenüberl. gleich |
| Quadrat | 2 Paare | Alle gleich | Alle 90° |
| Trapez | 1 Paar | – | – |
Alle Formeln auf einen Blick
| Berechnung | Formel |
|---|---|
| Flächeninhalt | \(A = g \cdot h\) |
| Umfang | \(U = 2(a + b)\) |
| Höhe (umgestellt) | \(h = \frac{A}{g}\) |
| Grundseite (umgestellt) | \(g = \frac{A}{h}\) |
Häufige Fehler vermeiden
- Seite statt Höhe verwenden: Die Fläche ist \(g \cdot h\), nicht \(a \cdot b\)! Die Seitenlänge \(b\) ist nur beim Rechteck gleich der Höhe.
- Falsche Höhe zuordnen: Jede Grundseite hat ihre eigene Höhe. Die Höhe muss senkrecht auf der gewählten Grundseite stehen.
- Mit Trapez verwechseln: Ein Trapez hat nur ein Paar paralleler Seiten, das Parallelogramm hat zwei Paare.
- Diagonalen für gleich lang halten: Die Diagonalen eines Parallelogramms sind im Allgemeinen verschieden lang.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Berechne den Flächeninhalt: g = 10 cm, h = 6 cm
Berechne den Umfang: a = 9 cm, b = 5 cm
A = 72 cm², g = 9 cm. Wie groß ist h?
Welche Aussage stimmt NICHT für ein Parallelogramm?
Ein Parallelogramm hat a = 13 cm, b = 10 cm und h_a = 8 cm. Wie groß ist h_b?
Welches Viereck ist KEIN Parallelogramm?