Die Flächenformel
\(d_1\) und \(d_2\) sind die beiden Diagonalen
Warum \(\div 2\)? Der Drachen/die Raute füllt genau die Hälfte des Rechtecks, das durch \(d_1\) und \(d_2\) aufgespannt wird.
Der Drachen (Deltoid)
| Eigenschaft | Drachen |
|---|---|
| Seiten | Je 2 benachbarte Seiten gleich lang |
| Diagonalen | Stehen senkrecht aufeinander, eine wird halbiert |
| Symmetrie | 1 Symmetrieachse (die Hauptdiagonale) |
| Winkel | 2 Paar gegenüberliegende Winkel: ein Paar gleich |
\(A = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = \mathbf{20 \text{ cm}^2}\)
Die Raute (Rhombus)
| Eigenschaft | Raute |
|---|---|
| Seiten | Alle 4 Seiten gleich lang |
| Diagonalen | Stehen senkrecht aufeinander, halbieren sich gegenseitig |
| Symmetrie | 2 Symmetrieachsen (beide Diagonalen) |
| Winkel | Gegenüberliegende Winkel gleich groß |
Die Raute ist ein spezieller Drachen – nämlich ein Drachen, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Daher gilt dieselbe Flächenformel!
\(A = \frac{12 \cdot 9}{2} = \frac{108}{2} = \mathbf{54 \text{ cm}^2}\)
Umkehraufgaben
\(d_2 = \frac{2 \cdot 30}{10} = \frac{60}{10} = \mathbf{6 \text{ cm}}\)
Raute: Von Seite zu Diagonalen (mit Pythagoras)
Die Diagonalen halbieren sich: halbe d₁ = 4 cm
Pythagoras im rechtwinkligen Teildreieck:
\(a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2\)
\(5^2 = 4^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \Rightarrow 25 - 16 = 9 \Rightarrow \frac{d_2}{2} = 3\)
\(d_2 = 6 \text{ cm}\) → \(A = \frac{8 \cdot 6}{2} = \mathbf{24 \text{ cm}^2}\)
Vergleich der Vierecke
| Figur | Seiten | Diagonalen | Flächenformel |
|---|---|---|---|
| Drachen | 2 Paar benachbart gleich | ⊥, eine halbiert | \(\frac{d_1 \cdot d_2}{2}\) |
| Raute | Alle gleich | ⊥, halbieren sich | \(\frac{d_1 \cdot d_2}{2}\) |
| Quadrat | Alle gleich, 90° | ⊥, gleich lang | \(a^2\) oder \(\frac{d^2}{2}\) |
Häufige Fehler vermeiden
- Durch 2 vergessen: \(A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\), nicht \(d_1 \cdot d_2\)!
- Diagonale mit Seite verwechseln: Die Diagonalen sind die Verbindungen der gegenüberliegenden Ecken.
- Raute ≠ Quadrat: Ein Quadrat ist eine spezielle Raute (mit 90°-Winkeln).
- Halbe Diagonalen verwechseln: Bei Pythagoras die halbe Diagonale verwenden, nicht die ganze!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Drachen: d₁ = 6 cm, d₂ = 4 cm. Fläche?
Wie stehen die Diagonalen bei Drachen und Raute?
Raute: d₁ = 10 cm, d₂ = 14 cm. Fläche?
A = 36 cm², d₁ = 12 cm. d₂ = ?
Was ist der Unterschied zwischen Drachen und Raute?
Raute: a = 13 cm, d₁ = 24 cm. Fläche?