📐 Geometrie 3.-4. Klasse

Höhensatz und Kathetensatz

Höhensatz und Kathetensatz gelten im rechtwinkligen Dreieck und ergänzen den Satz des Pythagoras. Sie beschreiben Zusammenhänge zwischen der Höhe, den Katheten und den Hypotenusenabschnitten – und helfen dir, wenn du nicht alle Seitenlängen kennst.

Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C gilt:

Bezeichnung	Bedeutung
\(c\)	Hypotenuse (längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel)
\(a, b\)	Katheten
\(h_c\) oder \(h\)	Höhe auf die Hypotenuse
\(p\)	Hypotenusenabschnitt an der Kathete \(a\)
\(q\)	Hypotenusenabschnitt an der Kathete \(b\)

Wichtig: \(p + q = c\) (die beiden Abschnitte ergeben zusammen die Hypotenuse)

Der Höhensatz

Höhensatz des Euklid

\(h^2 = p \cdot q\)

Das Quadrat der Höhe entspricht dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte

Beispiel: \(p = 4\), \(q = 9\). Wie lang ist \(h\)?

\(h^2 = 4 \cdot 9 = 36\)

\(h = \sqrt{36} = \mathbf{6}\)

Umkehraufgabe: \(h = 6\), \(p = 4\). Wie lang ist \(q\)?

\(36 = 4 \cdot q\)

\(q = \frac{36}{4} = \mathbf{9}\)

Der Kathetensatz

Kathetensatz des Euklid

\(a^2 = c \cdot p\) und \(b^2 = c \cdot q\)

Das Quadrat einer Kathete = Hypotenuse mal anliegender Abschnitt

Beispiel: \(c = 13\), \(p = 4\). Wie lang ist \(a\)?

\(a^2 = 13 \cdot 4 = 52\)

\(a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx \mathbf{7{,}21}\)

Beispiel: \(a = 6\), \(c = 10\). Wie lang ist \(p\)?

\(36 = 10 \cdot p\)

\(p = \frac{36}{10} = \mathbf{3{,}6}\)

Zusammenhang mit Pythagoras

Alle drei Sätze gelten im rechtwinkligen Dreieck und hängen zusammen:

Satz	Formel	Verbindet
Pythagoras	\(a^2 + b^2 = c^2\)	Die drei Seiten
Höhensatz	\(h^2 = p \cdot q\)	Höhe und Abschnitte
Kathetensatz	\(a^2 = c \cdot p\), \(b^2 = c \cdot q\)	Kathete, Hypotenuse, Abschnitt

Beweis-Zusammenhang: Addiert man beide Kathetensätze, erhält man den Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c \cdot p + c \cdot q = c(p+q) = c \cdot c = c^2\) ✓

Komplettes Beispiel

Gegeben: \(p = 3\), \(q = 12\). Berechne \(c\), \(h\), \(a\), \(b\).

\(c = p + q = 3 + 12 = 15\)

Höhensatz: \(h = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6\)

Kathetensatz: \(a = \sqrt{15 \cdot 3} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71\)

Kathetensatz: \(b = \sqrt{15 \cdot 12} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13{,}42\)

Häufige Fehler vermeiden

p und q verwechseln: \(p\) liegt neben Kathete \(a\), \(q\) neben Kathete \(b\). Im Kathetensatz gehört jede Kathete zu „ihrem" Abschnitt.
Höhensatz auf beliebige Dreiecke anwenden: Der Höhensatz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck!
c statt p oder q einsetzen: Im Kathetensatz \(a^2 = c \cdot p\) ist \(p\) nur ein Teil der Hypotenuse, nicht die ganze.
Wurzel vergessen: Bei \(h^2 = 36\) ist \(h = 6\), nicht 36!

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