Kreissegment (Kreisabschnitt) berechnen

Was ist ein Kreissegment?

Ein Kreissegment (oder Kreisabschnitt) ist eine Teilfläche eines Kreises. Es wird von zwei Linien begrenzt: einer Sehne (einer geraden Linie zwischen zwei Punkten auf dem Kreisrand) und dem dazugehörigen Kreisbogen.

Stell dir einen runden Kuchen vor, den du nicht durch die Mitte, sondern mit einem geraden Schnitt quer abschneidest. Das abgeschnittene Stück ist ein Kreissegment. Im Alltag begegnen uns Kreissegmente bei Rundbogenfenstern, Orangenscheiben, Käseecken und Brückenbögen.

Wichtige Bestandteile eines Kreissegments:

Sehne \(s\): Die gerade Verbindung der beiden Endpunkte des Kreisbogens
Kreisbogen \(b\): Der gekrümmte Teil des Kreisrandes zwischen den Endpunkten
Segmenthöhe \(h\): Der Abstand von der Mitte der Sehne zum Kreisbogen
Mittelpunktswinkel \(\alpha\): Der Winkel im Kreismittelpunkt zwischen den beiden Radien zu den Endpunkten

Jede Sehne teilt einen Kreis in zwei Kreissegmente: ein kleineres (bei \(\alpha < 180°\)) und ein größeres (bei \(\alpha > 180°\)). Liegt die Sehne genau auf dem Durchmesser, entstehen zwei gleich große Halbkreise.

Kreissegment vs. Kreissektor - der Unterschied

Kreissegment und Kreissektor werden häufig verwechselt. Der Unterschied ist aber einfach zu merken:

	Kreissektor	Kreissegment
Form	Tortenstück	Abgeschnittenes Stück
Begrenzt durch	Zwei Radien + Kreisbogen	Sehne + Kreisbogen
Geht durch Mittelpunkt?	Ja	Nein
Beispiel	Pizzastück	Angeschnittene Pizza (der Rand)

Zusammenhang

\(\text{Kreissegment} = \text{Kreissektor} - \text{Dreieck}\)

Das ist die Grundidee hinter der Flächenberechnung!

Wenn du also die Fläche eines Kreissegments berechnen willst, berechnest du zuerst die Fläche des zugehörigen Kreissektors und ziehst dann die Fläche des Dreiecks ab, das von den beiden Radien und der Sehne gebildet wird.

Fläche des Kreissegments berechnen

Für die Flächenberechnung gibt es eine kompakte Formel, die den Mittelpunktswinkel \(\alpha\) und den Radius \(r\) verwendet:

Fläche Kreissegment (Winkel in Grad)

\(A_{Segment} = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\frac{\alpha \cdot \pi}{180°} - \sin(\alpha)\right)\)

Diese Formel setzt sich aus zwei Teilen zusammen:

\(\frac{r^2}{2} \cdot \frac{\alpha \cdot \pi}{180°}\) ist die Fläche des Kreissektors
\(\frac{r^2}{2} \cdot \sin(\alpha)\) ist die Fläche des Dreiecks im Sektor

Wenn du den Winkel stattdessen im Bogenmaß hast, wird die Formel noch einfacher:

Fläche Kreissegment (Winkel im Bogenmaß)

\(A_{Segment} = \frac{r^2}{2} \cdot (\alpha - \sin(\alpha))\)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du bei jeder Aufgabe vor:

Gegeben: Radius \(r\) und Mittelpunktswinkel \(\alpha\) ablesen
Formel aufschreiben: \(A = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\frac{\alpha \cdot \pi}{180°} - \sin(\alpha)\right)\)
Werte einsetzen und Schritt für Schritt rechnen
Ergebnis: Die Einheit nicht vergessen (cm², m², ...)

Beispiel 1: Kreissegment mit 90°

Beispiel: Winkel α = 90°, Radius r = 10 cm

Fläche Kreissektor: \(A_{Sektor} = \frac{90°}{360°} \cdot \pi \cdot 10^2 = \frac{1}{4} \cdot 100\pi = 25\pi \approx 78{,}54\) cm²

Fläche Dreieck: \(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \sin(90°) = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 1 = 50\) cm²

Kreissegment: \(A_{Segment} = 25\pi - 50 \approx 78{,}54 - 50 = 28{,}54\) cm²

Ergebnis: Das Kreissegment hat eine Fläche von ca. \(28{,}54\) cm².

Beispiel 2: Kreissegment mit 60°

Beispiel: Winkel α = 60°, Radius r = 8 cm

Hier verwenden wir direkt die kompakte Formel:

Formel: \(A = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\frac{\alpha \cdot \pi}{180°} - \sin(\alpha)\right)\)

Einsetzen: \(A = \frac{8^2}{2} \cdot \left(\frac{60° \cdot \pi}{180°} - \sin(60°)\right) = 32 \cdot \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

Berechnen: \(A = 32 \cdot (1{,}047 - 0{,}866) = 32 \cdot 0{,}181 \approx 5{,}80\) cm²

Ergebnis: Das Kreissegment hat eine Fläche von ca. \(5{,}80\) cm².

Bogenlänge des Kreissegments

Die Bogenlänge \(b\) ist die Länge des gekrümmten Randes des Kreissegments. Sie entspricht dem Anteil des Kreisumfangs, der zum Mittelpunktswinkel gehört:

Bogenlänge

\(b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r\)

Anteil am gesamten Kreisumfang

Beispiel: α = 90°, r = 10 cm

\(b = \frac{90°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 10 = \frac{1}{4} \cdot 20\pi \approx 15{,}71\) cm

Sehne des Kreissegments berechnen

Die Länge der Sehne \(s\) lässt sich mit Hilfe der Sinusfunktion berechnen. Im gleichschenkligen Dreieck (gebildet von den beiden Radien und der Sehne) gilt:

Sehnenlänge

\(s = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\)

Beispiel: α = 90°, r = 10 cm

\(s = 2 \cdot 10 \cdot \sin(45°) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14\) cm

Segmenthöhe berechnen

Die Segmenthöhe \(h\) ist der Abstand von der Mitte der Sehne bis zum höchsten Punkt des Kreisbogens. Sie berechnet sich mit dem Kosinus:

Segmenthöhe

\(h = r - r \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r \cdot \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)\)

Beispiel: α = 90°, r = 10 cm

\(h = 10 \cdot \left(1 - \cos(45°)\right) = 10 \cdot (1 - 0{,}707) \approx 2{,}93\) cm

Umfang des Kreissegments

Der Umfang eines Kreissegments besteht aus zwei Teilen: der geraden Sehne und dem gekrümmten Kreisbogen.

Umfang Kreissegment

\(U = s + b = 2r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \frac{\alpha \cdot \pi \cdot r}{180°}\)

Sonderfälle

Je nach Größe des Mittelpunktswinkels ergeben sich besondere Situationen:

Winkel α	Ergebnis	Besonderheit
\(\alpha = 0°\)	Kein Segment	Sehne und Bogen fallen zusammen
\(\alpha = 180°\)	Halbkreis	Sehne = Durchmesser, \(A = \frac{\pi r^2}{2}\)
\(\alpha > 180°\)	Großes Segment	Größer als ein Halbkreis
\(\alpha = 360°\)	Vollkreis	Sehne hat Länge 0

⚠️ Achtung bei α > 180°: Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° ist das Kreissegment größer als ein Halbkreis. Die Formel \(A = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\frac{\alpha \cdot \pi}{180°} - \sin(\alpha)\right)\) funktioniert trotzdem korrekt, da \(\sin(\alpha)\) bei Winkeln über 180° automatisch negativ wird und die Dreiecksfläche somit addiert statt subtrahiert wird.

Alle Formeln auf einen Blick

Größe	Formel
Fläche	\(A = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\frac{\alpha \cdot \pi}{180°} - \sin(\alpha)\right)\)
Bogenlänge	\(b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r\)
Sehnenlänge	\(s = 2r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\)
Segmenthöhe	\(h = r \cdot \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)\)
Umfang	\(U = s + b\)

Häufige Fehler vermeiden

Kreissegment und Kreissektor verwechseln: Der Sektor ist das "Tortenstück" (mit Mittelpunkt), das Segment der "Abschnitt" (ohne Mittelpunkt). Merkhilfe: Segment = Sehne, Sektor = Strahlen (Radien).
Winkel in Grad vs. Bogenmaß: Prüfe immer, ob dein Taschenrechner auf Grad (DEG) eingestellt ist, bevor du \(\sin(\alpha)\) berechnest. Im Bogenmaß-Modus ergibt \(\sin(90)\) einen falschen Wert!
Sehne statt Durchmesser: Eine Sehne geht nicht zwingend durch den Mittelpunkt. Nur die Sehne, die durch den Mittelpunkt geht, heißt Durchmesser.
Formel bei großen Segmenten: Die Hauptformel funktioniert für alle Winkel von 0° bis 360°. Du musst bei α > 180° nichts umstellen.

Das solltest du schon können

Um Kreissegmente sicher berechnen zu können, solltest du folgende Themen beherrschen:

Kreisfläche und Kreisumfang - die Basisformeln \(A = \pi r^2\) und \(U = 2\pi r\)
Kreisbogen und Kreissektor - Kreissegmente bauen direkt darauf auf
Flächeninhalt Dreieck - du musst die Dreiecksfläche vom Sektor abziehen
Sinus und Kosinus - werden für Sehne und Segmenthöhe benötigt

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