Eigenschaften des Würfels
| Eigenschaft | Beschreibung |
|---|---|
| Flächen | 6 gleich große Quadrate |
| Kanten | 12 gleich lange Kanten |
| Ecken | 8 Ecken |
| Winkel | Alle Winkel 90° |
| Kantenlänge | Alle Kanten haben die Länge \(a\) |
| Symmetrie | 9 Symmetrieebenen |
Der Würfel ist ein Spezialfall: Er ist gleichzeitig ein Quader (mit a = b = c), ein Prisma und ein Platonscher Körper (Hexaeder).
Volumen berechnen
Kantenlänge „hoch drei" – deshalb heißt es „kubieren" oder „dritte Potenz"
Deshalb „Kubik"! Die Einheit cm³ heißt „Kubikzentimeter", weil sie dem Volumen eines Würfels mit 1 cm Kantenlänge entspricht. Auch die Rechenoperation \(a^3\) heißt „a hoch drei" oder „a Kubik".
Oberfläche berechnen
Der Würfel hat 6 gleich große Quadrate als Flächen:
6 Quadrate × Fläche eines Quadrats
\(O = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96\) cm²
Diagonalen berechnen
Der Würfel hat zwei Arten von Diagonalen:
Von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke durch den Würfel
Flächendiagonale: \(d_F = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\) cm
Raumdiagonale: \(d_R = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39\) cm
Umkehraufgaben
\(a = \sqrt[3]{27} = 3\) cm
\(a = \sqrt{\frac{150}{6}} = \sqrt{25} = 5\) cm
Netz des Würfels
Wenn du einen Würfel „aufklappst", erhältst du sein Netz: 6 Quadrate, die aneinanderhängen. Es gibt 11 verschiedene Möglichkeiten, ein Würfelnetz zu falten. Die bekannteste Form ist das „Kreuz" – ein Quadrat in der Mitte mit je einem Quadrat an jeder Seite und einem weiteren gegenüber.
Alle Formeln auf einen Blick
| Berechnung | Formel |
|---|---|
| Volumen | \(V = a^3\) |
| Oberfläche | \(O = 6a^2\) |
| Flächendiagonale | \(d_F = a\sqrt{2}\) |
| Raumdiagonale | \(d_R = a\sqrt{3}\) |
| Kante aus Volumen | \(a = \sqrt[3]{V}\) |
| Kante aus Oberfläche | \(a = \sqrt{\frac{O}{6}}\) |
Würfel vs. Quader
| Würfel | Quader | |
|---|---|---|
| Kanten | Alle 12 gleich lang | Je 4 gleich lang |
| Flächen | 6 gleiche Quadrate | 3 Paare Rechtecke |
| Volumen | \(V = a^3\) | \(V = a \cdot b \cdot c\) |
| Oberfläche | \(O = 6a^2\) | \(O = 2(ab+ac+bc)\) |
Häufige Fehler vermeiden
- \(a^3\) und \(3a\) verwechseln: \(a^3 = a \cdot a \cdot a\) (z.B. \(5^3 = 125\)), aber \(3a = 3 \cdot a\) (z.B. \(3 \cdot 5 = 15\)).
- Oberfläche: 6 vergessen: Es sind 6 Flächen, nicht 4! \(O = 6a^2\), nicht \(4a^2\).
- Einheiten verwechseln: Volumen in cm³, Oberfläche in cm², Kante in cm.
- Raumdiagonale = Flächendiagonale: Die Raumdiagonale \(a\sqrt{3}\) ist länger als die Flächendiagonale \(a\sqrt{2}\).
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Volumen eines Würfels mit a = 3 cm?
Wie viele Flächen hat ein Würfel?
Oberfläche mit a = 5 cm?
V = 64 cm³. Kantenlänge?
Raumdiagonale bei a = 4 cm? (gerundet)
O = 384 cm². Wie groß ist das Volumen?