📐 Geometrie 3.-4. Klasse

Pyramide: Volumen, Oberfläche und Mantelfläche

Eine Pyramide hat eine vieleckige Grundfläche und dreieckige Seitenflächen, die in einer Spitze zusammenlaufen. Die bekannteste ist die quadratische Pyramide – wie die Pyramiden von Gizeh. Hier lernst du alle Formeln und Berechnungen.

Eigenschaften der Pyramide

Eigenschaft	Beschreibung
Grundfläche	Ein Vieleck (Dreieck, Quadrat, Rechteck, ...)
Seitenflächen	Dreiecke, die in der Spitze zusammenlaufen
Spitze	Der oberste Punkt der Pyramide
Höhe \(h\)	Senkrechter Abstand von der Grundfläche zur Spitze
Höhe der Seitenfläche \(h_s\)	Höhe eines Seitendreiecks (Apothema)
Seitenkante \(s\)	Kante von Grundfläche zur Spitze

Gerade Pyramide: Bei einer geraden Pyramide steht die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. In der Schule rechnet man fast immer mit geraden Pyramiden.

Volumen berechnen

Das Volumen einer Pyramide beträgt genau ein Drittel des zugehörigen Prismas:

Volumen Pyramide

\(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\)

G = Grundfläche, h = Höhe der Pyramide

Merke: Die Pyramide hat genau ⅓ des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe. Drei gleiche Pyramiden füllen ein Prisma!

Beispiel 1: Quadratische Pyramide

Beispiel: Grundkante a = 6 cm, Höhe h = 10 cm

Grundfläche: \(G = a^2 = 6^2 = 36\) cm²

Volumen: \(V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = \frac{360}{3}\)

\(V = 120\) cm³

Beispiel 2: Rechteckige Pyramide

Beispiel: Grundfläche 8 cm × 5 cm, Höhe h = 12 cm

Grundfläche: \(G = 8 \cdot 5 = 40\) cm²

\(V = \frac{1}{3} \cdot 40 \cdot 12 = 160\) cm³

Mantelfläche berechnen

Die Mantelfläche besteht aus den dreieckigen Seitenflächen. Bei einer quadratischen Pyramide gibt es 4 gleiche Dreiecke:

Mantelfläche quadratische Pyramide

\(M = 4 \cdot \frac{a \cdot h_s}{2} = 2 \cdot a \cdot h_s\)

\(a\) = Grundkante, \(h_s\) = Höhe der Seitenfläche

Die Seitenflächenhöhe \(h_s\) berechnet man mit dem Satz des Pythagoras:

Seitenflächenhöhe (quadratische Pyramide)

\(h_s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)

Beispiel: a = 6 cm, h = 8 cm

\(h_s = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \approx 8{,}54\) cm

\(M = 2 \cdot 6 \cdot 8{,}54 \approx 102{,}5\) cm²

Oberfläche berechnen

Oberfläche Pyramide

\(O = G + M\)

Grundfläche + Mantelfläche

Fortsetzung: a = 6 cm, h = 8 cm

\(G = 36\) cm², \(M \approx 102{,}5\) cm²

\(O = 36 + 102{,}5 \approx 138{,}5\) cm²

Seitenkante berechnen

Die Seitenkante \(s\) (von einer Grundflächenecke zur Spitze) bei einer quadratischen Pyramide:

Seitenkante quadratische Pyramide

\(s = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}\)

Pythagoras mit halber Diagonale der Grundfläche: \(\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Alle Formeln auf einen Blick

Berechnung	Formel (quadr. Pyramide)
Volumen	\(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\)
Grundfläche	\(G = a^2\)
Seitenflächenhöhe	\(h_s = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}\)
Mantelfläche	\(M = 2 \cdot a \cdot h_s\)
Oberfläche	\(O = a^2 + 2ah_s\)
Seitenkante	\(s = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}\)
Höhe (umgestellt)	\(h = \frac{3V}{a^2}\)

Häufige Fehler vermeiden

⅓ vergessen: Das Volumen der Pyramide ist \(\frac{1}{3}\) des Prismas – nicht das ganze Prisma!
Höhe \(h\) und Seitenflächenhöhe \(h_s\) verwechseln: \(h\) ist die senkrechte Höhe der Pyramide, \(h_s\) die Höhe eines Seitendreiecks. \(h_s > h\)!
Seitenkante mit Seitenflächenhöhe verwechseln: Die Seitenkante \(s\) geht zur Ecke, \(h_s\) zur Mitte der Grundkante.
Mantel vergessen bei der Oberfläche: Die Oberfläche ist Grundfläche PLUS Mantelfläche.

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