Was ist eine zentrische Streckung?

Eine zentrische Streckung ist eine geometrische Abbildung, bei der alle Punkte einer Figur entlang von Strahlen durch ein festes Zentrum verschoben werden. Jeder Punkt wird um denselben Faktor gestreckt oder gestaucht.

Alltagsbeispiel: Stell dir einen Diaprojektor vor. Das Licht geht von einem Punkt (dem Zentrum) aus und projiziert das Bild vergrößert an die Wand. Je weiter die Wand entfernt ist, desto größer wird das Bild - aber das Seitenverhältnis bleibt gleich.

Zwei Dinge bestimmen die zentrische Streckung vollständig: das Streckungszentrum Z (der feste Punkt) und der Streckungsfaktor k (um wie viel gestreckt wird).

Streckungszentrum und Streckungsfaktor

Das Streckungszentrum Z

Das Streckungszentrum ist der einzige Punkt, der sich bei der Streckung nicht bewegt. Alle Strahlen von den Originalpunkten zu ihren Bildpunkten gehen durch Z. Das Zentrum kann innerhalb, außerhalb oder auf dem Rand der Figur liegen.

Der Streckungsfaktor k

Der Streckungsfaktor k gibt an, wie sich die Abstände zum Zentrum ändern:

Streckungsfaktor
\(\overline{ZP'} = k \cdot \overline{ZP}\)

Abstand Zentrum-Bildpunkt = k × Abstand Zentrum-Originalpunkt

Faktor kWirkungBeispiel
\(k > 1\)Vergrößerungk = 2 → doppelt so groß
\(0 < k < 1\)Verkleinerungk = 0,5 → halb so groß
\(k = 1\)Identität (keine Änderung)Figur bleibt gleich
\(k = -1\)Punktspiegelung am ZentrumFigur wird am Z gespiegelt
\(k < 0\)Streckung + Spiegelung am Zk = -2 → doppelt, gespiegelt

⚠️ Wichtig: Bei negativem k liegt der Bildpunkt auf der anderen Seite des Zentrums! Die Figur wird also nicht nur gestreckt, sondern auch am Zentrum gespiegelt.

Konstruktion Schritt für Schritt

So konstruierst du die zentrische Streckung eines Dreiecks ABC mit Zentrum Z und Faktor k:

Beispiel: Dreieck ABC, Z = Ursprung, k = 2
1
Zeichne einen Strahl von Z durch den Punkt A.
2
Miss den Abstand \(\overline{ZA}\). Multipliziere ihn mit k = 2.
3
Trage den neuen Abstand \(2 \cdot \overline{ZA}\) auf dem Strahl ab. Das ist A'.
4
Wiederhole für B und C → B' und C'.
5
Verbinde A', B' und C' → Das ist das Bilddreieck A'B'C'.

💡 Tipp: Bei k = 0,5 trägst du nur die Hälfte des Abstands ab. Der Bildpunkt liegt also zwischen Z und dem Originalpunkt.

Zentrische Streckung mit Koordinaten

Wenn das Streckungszentrum der Ursprung (0|0) ist, multiplizierst du einfach alle Koordinaten mit k:

Zentrum im Ursprung
\(P'(x'|y') = P'(k \cdot x \;|\; k \cdot y)\)
Beispiel: k = 3, Zentrum = Ursprung

A(2|1) → A'(6|3) | B(4|1) → B'(12|3) | C(3|4) → C'(9|12)

Liegt das Zentrum nicht im Ursprung, z. B. Z(z₁|z₂), dann gilt:

Allgemeine Formel
\(x' = z_1 + k \cdot (x - z_1)\) und \(y' = z_2 + k \cdot (y - z_2)\)
Beispiel: Z(1|2), k = 2, Punkt A(3|5)
1
\(x' = 1 + 2 \cdot (3 - 1) = 1 + 4 = 5\)
2
\(y' = 2 + 2 \cdot (5 - 2) = 2 + 6 = 8\)
3
Bildpunkt: A'(5|8)

Eigenschaften der zentrischen Streckung

Die zentrische Streckung hat besondere Eigenschaften, die sie von anderen Abbildungen unterscheiden:

EigenschaftWas passiert?
WinkelBleiben gleich (winkeltreu)
SeitenverhältnisseBleiben gleich (verhältnistreu)
SeitenlängenWerden mit |k| multipliziert
FlächeWird mit k² multipliziert
UmfangWird mit |k| multipliziert
Parallele SeitenBleiben parallel (originalgetreu)

Fläche bei Streckung: Bei k = 2 wird die Fläche \(2^2 = 4\) mal so groß! Bei k = 3 sogar \(3^2 = 9\) mal. Das liegt daran, dass die Fläche von zwei Längen abhängt (Länge × Breite), die beide mit k multipliziert werden.

Da Winkel und Verhältnisse erhalten bleiben, erzeugt die zentrische Streckung ähnliche Figuren. Original und Bild sind zueinander ähnlich.

Zentrum und Faktor bestimmen

Wenn du Original und Bild kennst, kannst du Z und k ermitteln:

Zentrum finden

Verbinde mindestens zwei Paare von Original- und Bildpunkt (z. B. A mit A' und B mit B'). Die Geraden schneiden sich im Streckungszentrum Z.

Faktor bestimmen

Streckungsfaktor berechnen
\(k = \frac{\overline{ZP'}}{\overline{ZP}}\) oder \(k = \frac{\text{Bildseite}}{\text{Originalseite}}\)
Beispiel: Original-Dreiecksseite = 4 cm, Bildseite = 10 cm

\(k = \frac{10}{4} = 2{,}5\) → Vergrößerung um Faktor 2,5

Zusammenhang mit Ähnlichkeit

Die zentrische Streckung ist die wichtigste Abbildung für Ähnlichkeit. Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn eine durch zentrische Streckung (eventuell kombiniert mit einer Kongruenzabbildung) in die andere übergeführt werden kann.

In der Praxis bedeutet das: Maßstabsgetreue Karten, Modelle und Baupläne basieren alle auf zentrischer Streckung. Ein Bauplan im Maßstab 1:100 ist eine zentrische Streckung mit k = 0,01.

Häufige Fehler vermeiden

  • Strahl statt Strecke: Der Bildpunkt liegt auf dem Strahl von Z durch P - nicht irgendwo daneben. Immer exakt auf dem Strahl abtragen!
  • Negatives k vergessen: Bei k < 0 liegt der Bildpunkt auf der anderen Seite von Z. Viele vergessen die Spiegelung.
  • Fläche falsch skaliert: Die Fläche wächst mit k² (nicht mit k!). Bei k = 2 wird die Fläche 4-mal so groß, nicht doppelt.
  • Zentrum verschoben: Das Zentrum Z bleibt fest! Es bewegt sich nicht mit.

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

Was passiert bei k = 0,5?

Aufgabe 2Leicht

Welche Eigenschaft bleibt bei zentrischer Streckung NICHT erhalten?

Aufgabe 3Mittel

Zentrum = Ursprung, k = 3. Wohin wird P(2|4) abgebildet?

Aufgabe 4Mittel

Ein Dreieck hat Fläche 12 cm². Wie groß ist die Fläche nach Streckung mit k = 3?

Aufgabe 5Schwer

Z(1|2), k = 2. Wohin wird A(3|5) abgebildet?

Aufgabe 6Schwer

Originalseite = 5 cm, Bildseite = 15 cm. Wie groß ist k?

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