Die Scheitelpunktform

Scheitelpunktform
\(f(x) = a(x - d)^2 + e\)

Scheitelpunkt \(S(d|e)\), \(a\) bestimmt Öffnung und Streckung

ParameterWirkung
\(d\)Verschiebung nach rechts (\(d > 0\)) oder links (\(d < 0\))
\(e\)Verschiebung nach oben (\(e > 0\)) oder unten (\(e < 0\))
\(a > 0\)Parabel nach oben geöffnet
\(a < 0\)Parabel nach unten geöffnet

Verschiebung nach oben/unten

Vertikale Verschiebung
\(f(x) = x^2 + e\)

\(e > 0\): nach oben | \(e < 0\): nach unten

Beispiele

\(f(x) = x^2 + 3\) → Scheitelpunkt \(S(0|3)\) – 3 nach oben

\(f(x) = x^2 - 2\) → Scheitelpunkt \(S(0|-2)\) – 2 nach unten

Horizontale Verschiebung
\(f(x) = (x - d)^2\)

\(d > 0\): nach rechts | \(d < 0\): nach links

⚠️ Achtung – Vorzeichen! \((x - 3)^2\) verschiebt nach rechts (d = +3). \((x + 2)^2 = (x - (-2))^2\) verschiebt nach links (d = −2). Das Vorzeichen in der Klammer ist umgekehrt!

Beispiele

\(f(x) = (x - 4)^2\) → \(S(4|0)\) – 4 nach rechts

\(f(x) = (x + 1)^2\) → \(S(-1|0)\) – 1 nach links

Kombinierte Verschiebung

Beispiel: \(f(x) = (x - 3)^2 + 2\)

Verschiebung: 3 nach rechts, 2 nach oben → \(S(3|2)\)

Beispiel: \(f(x) = (x + 1)^2 - 4\)

\(= (x - (-1))^2 + (-4)\) → \(S(-1|-4)\)

Verschiebung: 1 nach links, 4 nach unten

Streckung und Stauchung (Parameter a)

Wert von aWirkungBeispiel
\(|a| > 1\)Schmaler (gestreckt)\(2x^2\) – schmaler als \(x^2\)
\(|a| = 1\)Normalparabel\(x^2\)
\(0 < |a| < 1\)Breiter (gestaucht)\(0{,}5x^2\) – breiter als \(x^2\)
\(a < 0\)Nach unten geöffnet\(-x^2\) – gespiegelt

Scheitelpunkt ablesen

Strategie
1
Gleichung in Scheitelpunktform bringen: \(a(x-d)^2 + e\)
2
\(d\) ablesen: Zahl in der Klammer mit umgekehrtem Vorzeichen
3
\(e\) ablesen: Zahl außerhalb der Klammer
✓
Scheitelpunkt: \(S(d|e)\)

Häufige Fehler vermeiden

  • Vorzeichen bei d: \((x-3)^2\) → d = +3 (nach rechts!). \((x+3)^2\) → d = −3 (nach links!).
  • a vergessen: \(-2(x-1)^2 + 5\) → nach unten geöffnet, Scheitelpunkt bei \(S(1|5)\).
  • Verschiebung vs. Streckung verwechseln: \(d\) und \(e\) verschieben. \(a\) streckt/staucht.
  • Normalform ≠ Scheitelpunktform: \(x^2 + 6x + 5\) muss erst umgeformt werden!

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

\(f(x) = x^2 + 5\). Scheitelpunkt?

Aufgabe 2Leicht

\(f(x) = (x-2)^2\). Wohin verschoben?

Aufgabe 3Mittel

\(f(x) = (x+3)^2 - 1\). Scheitelpunkt?

Aufgabe 4Mittel

\(f(x) = -x^2\). Was passiert?

Aufgabe 5Schwer

S(−2|7) als Scheitelpunktform (a=1)?

Aufgabe 6Schwer

\(f(x) = 3(x-1)^2 + 4\). Schmaler oder breiter als Normalparabel?

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