Was ist die Steigung?
Die Steigung (in Österreich oft mit \(k\) bezeichnet, international mit \(m\)) beschreibt, wie stark eine Gerade ansteigt oder fällt. Sie gibt an, um wie viele Einheiten die Gerade in y-Richtung steigt oder fällt, wenn man eine Einheit in x-Richtung nach rechts geht.
Anschaulich: Stell dir eine Straße vor. Die Steigung sagt dir, wie viele Meter es pro 100 Meter Strecke bergauf geht. Eine Steigung von 12% bedeutet: Auf 100 m Strecke steigt die Straße um 12 m.
Bei einer linearen Funktion der Form \(y = k \cdot x + d\) ist \(k\) die Steigung und \(d\) der y-Achsenabschnitt. Die Steigung ist überall auf der Geraden gleich - deshalb heißt sie auch "linear".
Das Steigungsdreieck
Das Steigungsdreieck ist die wichtigste Methode, um die Steigung aus einem Graphen abzulesen. Du bildest ein rechtwinkliges Dreieck zwischen zwei Punkten auf der Geraden:
"Wie viel hoch (oder runter)" geteilt durch "wie viel nach rechts"
Dabei ist \(\Delta y\) die Änderung in y-Richtung (vertikal) und \(\Delta x\) die Änderung in x-Richtung (horizontal).
Die Gerade geht durch die Punkte \(P(1|2)\) und \(Q(4|8)\).
Interpretation: Pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um 2 Einheiten.
💡 Tipp: Es ist egal, welche zwei Punkte auf der Geraden du wählst - die Steigung ist immer gleich. Wähle Punkte, die genau auf einem Gitterpunkt liegen, dann ist das Ablesen einfacher.
Steigung aus zwei Punkten berechnen
Wenn dir zwei Punkte gegeben sind, verwendest du die Steigungsformel:
Beispiel 1: Positive Steigung
\(k = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2\)
Die Gerade steigt: pro 1 nach rechts geht es 2 nach oben.
Beispiel 2: Negative Steigung
\(k = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2\)
Die Gerade fällt: pro 1 nach rechts geht es 2 nach unten.
Beispiel 3: Bruch als Steigung
\(k = \frac{4 - 1}{6 - 2} = \frac{3}{4} = 0{,}75\)
Die Gerade steigt langsam: pro 4 nach rechts geht es 3 nach oben.
Steigung interpretieren
Der Wert der Steigung verrät dir sofort, wie die Gerade aussieht:
| Steigung \(k\) | Bedeutung | Graph |
|---|---|---|
| \(k > 0\) (positiv) | Gerade steigt von links nach rechts | Aufwärtslinie ↗ |
| \(k < 0\) (negativ) | Gerade fällt von links nach rechts | Abwärtslinie ↘ |
| \(k = 0\) | Gerade ist waagrecht | Horizontale Linie → |
| \(k = 1\) | 45°-Winkel (gleich viel hoch wie rechts) | Diagonale ↗ |
| \(|k| > 1\) | Steiler als 45° | Steile Linie |
| \(0 < |k| < 1\) | Flacher als 45° | Flache Linie |
⚠️ Senkrechte Geraden: Eine senkrechte Gerade hat keine definierte Steigung (man würde durch 0 dividieren). Senkrechte Geraden haben die Gleichung \(x = c\), nicht \(y = kx + d\).
Von der Steigung zur Geradengleichung
Wenn du die Steigung \(k\) und einen Punkt \(P(x_1|y_1)\) kennst, kannst du die Geradengleichung aufstellen:
Umformen auf \(y = k \cdot x + d\), um \(d\) zu erhalten
Die Geradengleichung ist \(y = 3x - 1\), der y-Achsenabschnitt ist \(d = -1\).
Parallele und normale Geraden
Die Steigung verrät dir auch, ob zwei Geraden zueinander parallel oder normal (senkrecht) stehen:
| Beziehung | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| Parallel | \(k_1 = k_2\) | \(y = 2x + 1\) und \(y = 2x - 3\) |
| Normal (senkrecht) | \(k_1 \cdot k_2 = -1\) | \(y = 2x + 1\) und \(y = -\frac{1}{2}x + 4\) |
💡 Merke: Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Für die Steigung der Normalen kippst du den Bruch und änderst das Vorzeichen: Aus \(k = \frac{2}{3}\) wird \(k_n = -\frac{3}{2}\).
Steigung und Winkel
Die Steigung hängt mit dem Steigungswinkel \(\alpha\) zusammen (dem Winkel zwischen der Geraden und der x-Achse):
\(k = 1\) → \(\alpha = 45°\) | \(k = -1\) → \(\alpha = 135°\) | \(k = 0\) → \(\alpha = 0°\) (waagrecht)
Häufige Fehler vermeiden
- \(\Delta x\) und \(\Delta y\) vertauschen: Es heißt \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\), nicht umgekehrt! Merke: "y oben, x unten" oder "hoch durch rechts".
- Reihenfolge der Punkte wechseln: Wenn du bei \(y_2 - y_1\) den zweiten Punkt zuerst nimmst, musst du es bei \(x_2 - x_1\) genauso machen. Beide Differenzen müssen in der gleichen Reihenfolge sein.
- Vorzeichen übersehen: Eine negative Steigung bedeutet, dass die Gerade fällt. Vergiss nicht das Minus!
- Steigung = Winkel: Die Steigung 2 bedeutet nicht 2°! Steigung und Winkel sind nicht dasselbe (\(k = \tan(\alpha)\)).
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Eine Gerade geht 3 Einheiten nach oben und 1 nach rechts. Wie groß ist k?
Was bedeutet eine negative Steigung?
Berechne die Steigung durch A(1|4) und B(3|10).
Welche Steigung hat eine Gerade parallel zu \(y = -2x + 5\)?
Berechne k durch P(-2|5) und Q(4|-1).
Eine Gerade hat \(k = 3\) und geht durch \(P(1|2)\). Wie lautet die Gleichung?