Die Steigungsformel
Steigung aus zwei Punkten
\(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(\Delta y\) = Änderung in y-Richtung, \(\Delta x\) = Änderung in x-Richtung
Beispiel: \(P_1(1|2)\) und \(P_2(4|8)\)
1
\(k = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = \mathbf{2}\)
Die Gerade steigt pro Schritt nach rechts um 2 Einheiten nach oben.
Beispiel: \(P_1(0|6)\) und \(P_2(3|0)\)
1
\(k = \frac{0 - 6}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = \mathbf{-2}\)
Negative Steigung → die Gerade fällt.
Das Steigungsdreieck
Am Graphen kannst du die Steigung direkt ablesen:
So geht's:
1
Wähle zwei Punkte auf der Geraden (möglichst auf Gitterpunkten)
2
Gehe vom linken zum rechten Punkt: Zähle die Schritte nach rechts = \(\Delta x\)
3
Zähle die Schritte nach oben (oder unten) = \(\Delta y\)
4
\(k = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Was sagt die Steigung aus?
| Steigung \(k\) | Bedeutung | Graph |
|---|---|---|
| \(k > 0\) | Gerade steigt | Von links unten nach rechts oben |
| \(k < 0\) | Gerade fällt | Von links oben nach rechts unten |
| \(k = 0\) | Gerade ist waagrecht | Horizontale Linie |
| \(k = 1\) | 45°-Winkel | Pro 1 nach rechts → 1 nach oben |
| \(|k| > 1\) | Steil | Je größer \(|k|\), desto steiler |
| \(|k| < 1\) | Flach | Je kleiner \(|k|\), desto flacher |
Steigung in Prozent
Im Alltag (Straßenschilder, Rampen) wird die Steigung oft in Prozent angegeben:
Steigung in Prozent
\(\text{Steigung in \%} = k \cdot 100\%\)
Beispiel: Ein Verkehrsschild zeigt 12% Gefälle
Als Dezimalzahl: \(k = -0{,}12\). Das bedeutet: Auf 100 m waagrechter Strecke geht es 12 m nach unten.
Parallele und senkrechte Geraden
| Beziehung | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| Parallel | \(k_1 = k_2\) | \(y = 2x + 1\) und \(y = 2x - 3\) |
| Senkrecht (normal) | \(k_1 \cdot k_2 = -1\) | \(y = 2x\) und \(y = -\frac{1}{2}x\) |
Häufige Fehler vermeiden
- Zähler und Nenner vertauscht: \(k = \frac{\Delta y}{\Delta x}\), nicht umgekehrt! (y oben, x unten)
- Reihenfolge inkonsistent: Im Zähler und Nenner müssen die Punkte in der gleichen Reihenfolge stehen.
- Vorzeichen vergessen: Bei negativen Koordinaten genau rechnen, z. B. \(\frac{3 - (-2)}{1 - 4} = \frac{5}{-3}\).
- Steigung mit d verwechseln: Bei \(y = 3x + 5\) ist \(k = 3\) (nicht 5!).
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
Steigung der Gerade \(y = 4x - 2\)?
Aufgabe 2Leicht
Steigung durch \(P_1(0|1)\) und \(P_2(2|5)\)?
Aufgabe 3Mittel
Steigung durch \(P_1(1|7)\) und \(P_2(4|1)\)?
Aufgabe 4Mittel
Was bedeutet \(k = 0\)?
Aufgabe 5Schwer
Welche Steigung hat eine Gerade senkrecht zu \(y = 3x + 1\)?
Aufgabe 6Schwer
Steigung durch \(P_1(-2|5)\) und \(P_2(3|-5)\)?
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