Methode: Gleichsetzen
Schnittpunkt berechnen
\(k_1 x + d_1 = k_2 x + d_2\)
Die rechten Seiten beider Geradengleichungen gleichsetzen und nach \(x\) auflösen
Schritt-für-Schritt-Anleitung
1
Gleichsetzen: \(k_1 x + d_1 = k_2 x + d_2\)
2
x berechnen: Nach \(x\) auflösen → \(x_S\)
3
y berechnen: \(x_S\) in eine der beiden Gleichungen einsetzen → \(y_S\)
4
Ergebnis: Schnittpunkt \(S(x_S | y_S)\)
Beispiele
Beispiel 1: \(f(x) = 2x + 1\) und \(g(x) = -x + 7\)
1
Gleichsetzen: \(2x + 1 = -x + 7\)
2
\(3x = 6\) → \(x_S = 2\)
3
\(y_S = 2 \cdot 2 + 1 = 5\)
4
\(\mathbf{S(2|5)}\)
Probe mit \(g\): \(-2 + 7 = 5\) ✓
Beispiel 2: \(f(x) = 3x - 4\) und \(g(x) = x + 2\)
1
\(3x - 4 = x + 2\)
2
\(2x = 6\) → \(x_S = 3\)
3
\(y_S = 3 + 2 = 5\)
4
\(\mathbf{S(3|5)}\)
Sonderfälle
| Situation | Bedingung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Ein Schnittpunkt | \(k_1 \neq k_2\) | Genau ein Punkt \(S(x_S|y_S)\) |
| Kein Schnittpunkt | \(k_1 = k_2\), \(d_1 \neq d_2\) | Parallele Geraden |
| Unendlich viele | \(k_1 = k_2\) und \(d_1 = d_2\) | Identische Geraden |
⚠️ Tipp: Wenn beim Gleichsetzen die x-Variable wegfällt und eine falsche Aussage entsteht (z. B. \(3 = 7\)), gibt es keinen Schnittpunkt. Bei einer wahren Aussage (z. B. \(5 = 5\)) sind die Geraden identisch.
Schnittpunkte mit den Achsen
| Schnittpunkt mit... | Methode | Beispiel für \(y = 2x - 4\) |
|---|---|---|
| x-Achse (Nullstelle) | Setze \(y = 0\) ein | \(0 = 2x - 4\) → \(x = 2\) → \(N(2|0)\) |
| y-Achse | Setze \(x = 0\) ein | \(y = 2 \cdot 0 - 4 = -4\) → \(P(0|-4)\) |
Häufige Fehler vermeiden
- y-Wert vergessen: Nach dem Berechnen von \(x_S\) unbedingt noch \(y_S\) bestimmen!
- In falsche Gleichung eingesetzt: Egal welche – aber die Probe sollte mit der anderen gemacht werden.
- Vorzeichen verwechselt: Beim Gleichsetzen genau auf + und − achten.
- Parallele nicht erkannt: Wenn \(k_1 = k_2\) sind die Geraden parallel (oder identisch).
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
Schnittpunkt von \(f(x) = x + 3\) und \(g(x) = 2x + 1\)?
Aufgabe 2Leicht
Haben \(y = 3x + 1\) und \(y = 3x - 5\) einen Schnittpunkt?
Aufgabe 3Mittel
Schnittpunkt von \(f(x) = -2x + 8\) und \(g(x) = x - 1\)?
Aufgabe 4Mittel
Welcher Schritt kommt nach dem Gleichsetzen?
Aufgabe 5Schwer
Schnittpunkt von \(f(x) = \frac{1}{2}x + 4\) und \(g(x) = -x + 1\)?
Aufgabe 6Schwer
Wo schneidet \(y = -3x + 9\) die x-Achse?
Dein Ergebnis
0 / 6 richtig