Die Geradengleichung

Geradengleichung (Normalform)
\(y = kx + d\)

\(k\) = Steigung (wie steil?), \(d\) = y-Achsenabschnitt (wo schneidet die Gerade die y-Achse?)

In Österreich: Wir verwenden \(k\) für die Steigung und \(d\) für den y-Achsenabschnitt. In Deutschland oft \(m\) und \(b\) oder \(n\).

Methode 1: Aus zwei Punkten

Gegeben sind zwei Punkte \(P_1(x_1|y_1)\) und \(P_2(x_2|y_2)\):

Anleitung
1
Steigung berechnen: \(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
2
d berechnen: Einen Punkt in \(y = kx + d\) einsetzen und nach \(d\) auflösen
3
Gleichung aufschreiben
Beispiel: \(P_1(1|3)\) und \(P_2(4|9)\)
1
\(k = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2\)
2
\(P_1\) einsetzen: \(3 = 2 \cdot 1 + d\) → \(d = 1\)
3
\(\mathbf{y = 2x + 1}\)
Beispiel: \(P_1(-2|5)\) und \(P_2(3|-5)\)
1
\(k = \frac{-5 - 5}{3 - (-2)} = \frac{-10}{5} = -2\)
2
\(5 = (-2) \cdot (-2) + d\) → \(5 = 4 + d\) → \(d = 1\)
3
\(\mathbf{y = -2x + 1}\)

Methode 2: Aus Punkt und Steigung

Gegeben: Ein Punkt \(P(x_1|y_1)\) und die Steigung \(k\):

Beispiel: \(P(3|7)\) und \(k = 2\)
1
In \(y = kx + d\) einsetzen: \(7 = 2 \cdot 3 + d\)
2
\(7 = 6 + d\) → \(d = 1\)
3
\(\mathbf{y = 2x + 1}\)

Methode 3: Vom Graphen ablesen

So liest du ab:
1
d ablesen: Wo schneidet die Gerade die y-Achse? → das ist \(d\)
2
k bestimmen: Steigungsdreieck einzeichnen. Gehe 1 nach rechts – wie viel steigt/fällt die Gerade?
3
Oder: Zwei Punkte vom Graphen ablesen und \(k = \frac{\Delta y}{\Delta x}\) berechnen

Sonderfälle

GeradeGleichungEigenschaft
Durch den Ursprung\(y = kx\) (d = 0)Proportionale Zuordnung
Horizontale Gerade\(y = d\) (k = 0)Konstante Funktion, parallel zur x-Achse
Vertikale Gerade\(x = a\)Keine Funktion! Parallel zur y-Achse

Häufige Fehler vermeiden

  • Punkte vertauschen: Bei der Steigungsformel Zähler und Nenner in der gleichen Reihenfolge berechnen!
  • Vorzeichen vergessen: Bei negativen Koordinaten genau auf Minus achten, z. B. \(\frac{-5 - 3}{2 - (-1)}\).
  • d ablesen statt berechnen: Wenn der y-Achsenabschnitt nicht ganzzahlig ist, lieber rechnerisch bestimmen.
  • k und d verwechseln: \(k\) bestimmt die Steilheit, \(d\) die Verschiebung nach oben/unten.

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

Steigung der Gerade durch \(P_1(0|2)\) und \(P_2(3|8)\)?

Aufgabe 2Leicht

Geradengleichung: Steigung k = 3, y-Achsenabschnitt d = −1?

Aufgabe 3Mittel

Geradengleichung durch \(P_1(1|4)\) und \(P_2(3|10)\)?

Aufgabe 4Mittel

Gerade durch \(P(2|5)\) mit \(k = -1\). Was ist \(d\)?

Aufgabe 5Schwer

Geradengleichung durch \(P_1(-1|4)\) und \(P_2(2|-2)\)?

Aufgabe 6Schwer

Welche Gleichung hat eine horizontale Gerade durch \(y = 4\)?

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