Aufbau des Koordinatensystems

Ein zweidimensionales Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlengeraden, die sich im Ursprung (Nullpunkt) rechtwinklig kreuzen:

BestandteilBeschreibung
x-Achse (Abszisse)Waagerechte Achse, nach rechts positiv
y-Achse (Ordinate)Senkrechte Achse, nach oben positiv
Ursprung OSchnittpunkt beider Achsen: \(O(0|0)\)
EinheitslängeAbstand zwischen den Markierungen auf den Achsen

Eselsbrücke: x kommt im Alphabet vor y – genauso ist die x-Achse vor der y-Achse: erst waagerecht (links-rechts), dann senkrecht (oben-unten).

Die vier Quadranten

Die beiden Achsen teilen die Ebene in vier Bereiche, die Quadranten heißen. Sie werden gegen den Uhrzeigersinn mit römischen Zahlen nummeriert:

Quadrantx-Werty-WertLage
I.positiv (+)positiv (+)Rechts oben
II.negativ (−)positiv (+)Links oben
III.negativ (−)negativ (−)Links unten
IV.positiv (+)negativ (−)Rechts unten

Punkte auf den Achsen gehören zu keinem Quadranten. Zum Beispiel liegt \(P(3|0)\) auf der x-Achse und \(Q(0|5)\) auf der y-Achse.

Punkte eintragen

Jeder Punkt wird durch ein Zahlenpaar beschrieben: \(P(x|y)\). Die erste Zahl ist der x-Wert (waagerecht), die zweite der y-Wert (senkrecht).

Punktkoordinaten
\(P(x|y)\)

Erst x (waagerecht), dann y (senkrecht)

Schritt-für-Schritt: Punkt eintragen

Beispiel: Trage den Punkt \(P(3|4)\) ein
1
Starte im Ursprung \(O(0|0)\)
2
Gehe 3 Einheiten nach rechts (x = 3)
3
Gehe 4 Einheiten nach oben (y = 4)
4
Zeichne den Punkt und beschrifte ihn mit \(P(3|4)\)

Beispiel mit negativen Koordinaten

Beispiel: Trage \(Q(-2|5)\) ein

Vom Ursprung: 2 Einheiten nach links (x = −2), dann 5 Einheiten nach oben (y = 5). Der Punkt liegt im II. Quadranten.

Punkte ablesen

Um die Koordinaten eines Punktes abzulesen, gehst du umgekehrt vor:

Anleitung: Koordinaten ablesen
1
Fälle vom Punkt ein Lot auf die x-Achse → lies den x-Wert ab
2
Fälle vom Punkt ein Lot auf die y-Achse → lies den y-Wert ab
3
Schreibe das Ergebnis als \(P(x|y)\)

Besondere Punkte

PunktBedeutungBeispiel
UrsprungSchnittpunkt beider Achsen\(O(0|0)\)
Punkt auf x-Achsey-Wert = 0\(P(5|0)\)
Punkt auf y-Achsex-Wert = 0\(P(0|3)\)

Strecken und Abstände

Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Abstandsformel (basierend auf dem Satz des Pythagoras):

Abstand zweier Punkte
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Beispiel: Abstand von \(A(1|2)\) zu \(B(4|6)\)
1
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16}\)
2
\(d = \sqrt{25} = 5\)

Häufige Fehler vermeiden

  • x und y vertauschen: Bei \(P(3|5)\) ist 3 der x-Wert (waagerecht) und 5 der y-Wert (senkrecht). Immer erst x, dann y!
  • Vorzeichen ignorieren: Negative x-Werte liegen links, negative y-Werte unten. \(P(-3|5)\) liegt links oben, \(P(3|-5)\) rechts unten.
  • Quadranten verwechseln: Die Nummerierung beginnt rechts oben (I) und geht gegen den Uhrzeigersinn.
  • Strich statt senkrechter Strich: In Österreich schreibt man \(P(x|y)\) mit senkrechtem Strich, nicht mit Komma.

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

In welchem Quadranten liegt \(P(4|3)\)?

Aufgabe 2Leicht

Welche Achse verläuft waagerecht?

Aufgabe 3Mittel

In welchem Quadranten liegt \(P(-3|5)\)?

Aufgabe 4Mittel

Wo liegt ein Punkt mit y = 0?

Aufgabe 5Schwer

Berechne den Abstand von \(A(1|1)\) zu \(B(4|5)\).

Aufgabe 6Schwer

In welchem Quadranten sind x UND y negativ?

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