Achsensymmetrie zur y-Achse
Spiegelung an der y-Achse ergibt denselben Graphen
\(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\) ✓ → achsensymmetrisch
\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)\) ✓
Schnellcheck: Enthält die Funktion nur gerade Exponenten (und Konstanten), ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse.
Punktsymmetrie zum Ursprung
Drehung um 180° um den Ursprung ergibt denselben Graphen
\(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\) ✓ → punktsymmetrisch
\(f(-x) = (-x)^5 - 2(-x) = -x^5 + 2x = -(x^5 - 2x) = -f(x)\) ✓
Schnellcheck: Enthält die Funktion nur ungerade Exponenten (kein konstantes Glied!), ist sie punktsymmetrisch.
Übersicht
| Eigenschaft | Achsensymmetrisch | Punktsymmetrisch |
|---|---|---|
| Bedingung | \(f(-x) = f(x)\) | \(f(-x) = -f(x)\) |
| Andere Bezeichnung | Gerade Funktion | Ungerade Funktion |
| Exponenten | Nur gerade (0, 2, 4, ...) | Nur ungerade (1, 3, 5, ...) |
| Beispiele | \(x^2, x^4, \cos(x)\) | \(x^3, x^5, \sin(x)\) |
| Geometrisch | Spiegelung an y-Achse | Drehung um 180° |
Symmetrie rechnerisch prüfen
\(f(-x) = -f(x)\) → punktsymmetrisch
Keins von beiden → keine Symmetrie
\(f(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 = -x^3 + x^2\)
Vergleich: \(-x^3 + x^2 \neq x^3 + x^2\) und \(-x^3 + x^2 \neq -(x^3 + x^2) = -x^3 - x^2\)
→ Weder achsen- noch punktsymmetrisch (gemischte Exponenten!)
Potenzregeln bei (−x)
| Ausdruck | Ergebnis | Warum? |
|---|---|---|
| \((-x)^2\) | \(x^2\) | Gerade Potenz: Minus fällt weg |
| \((-x)^3\) | \(-x^3\) | Ungerade Potenz: Minus bleibt |
| \((-x)^4\) | \(x^4\) | Gerade: weg |
| \((-x)^1\) | \(-x\) | Ungerade: bleibt |
Häufige Fehler vermeiden
- Konstante vergessen: \(f(x) = x^3 + 1\) ist NICHT punktsymmetrisch (die Konstante +1 stört!).
- Gemischte Exponenten: \(x^3 + x^2\) hat weder Achsen- noch Punktsymmetrie.
- Minus nicht korrekt potenziert: \((-x)^2 = x^2\), nicht \(-x^2\)!
- Achsensymmetrie ≠ Punktsymmetrie: Es sind zwei verschiedene Eigenschaften!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
\(f(x) = x^2\) ist:
Bedingung für Punktsymmetrie:
\(f(x) = x^5 - x\) ist:
\((-x)^4 = \)?
\(f(x) = x^3 + 1\) ist:
\(f(x) = x^6 + 2x^2 - 5\) ist: