Definitionen
| Monotonie | Bedingung | Bedeutung |
|---|---|---|
| Streng monoton steigend | \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\) | Graph geht nur bergauf |
| Monoton steigend | \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\) | Bergauf oder waagrecht |
| Streng monoton fallend | \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\) | Graph geht nur bergab |
| Monoton fallend | \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\) | Bergab oder waagrecht |
Monotonie am Graphen ablesen
Lies den Graphen von links nach rechts: Geht er bergauf → steigend. Geht er bergab → fallend. Hoch- und Tiefpunkte sind die Wechselstellen!
\(f(x) = 2x + 1\) (Steigung k = 2 > 0) → streng monoton steigend (auf ganz \(\mathbb{R}\))
\(f(x) = -3x + 5\) (Steigung k = −3 < 0) → streng monoton fallend
Quadratische Funktionen
Für \(x < 0\): streng monoton fallend
Für \(x > 0\): streng monoton steigend
→ Der Scheitelpunkt ist die Wechselstelle!
Nach unten geöffnet (\(a < 0\)):
Für \(x < 2\): streng monoton steigend
Für \(x > 2\): streng monoton fallend
Faustregel für Parabeln: \(a > 0\) (nach oben offen): erst fallend, dann steigend. \(a < 0\) (nach unten offen): erst steigend, dann fallend.
Monotonie-Intervalle angeben
\(f(x) = x^2\):
Streng monoton fallend auf \((-\infty; 0)\)
Streng monoton steigend auf \((0; +\infty)\)
⚠️ Achtung: Die Monotonie wird immer für Intervalle angegeben, nicht für einzelne Punkte!
Häufige Fehler vermeiden
- „Steigend" für gesamte Parabel: \(x^2\) ist NICHT insgesamt steigend – nur für \(x > 0\).
- Streng vs. nicht-streng verwechseln: „Streng" bedeutet keine waagrechten Abschnitte.
- Monotonie am Punkt: Man spricht von Monotonie auf Intervallen, nicht an Punkten.
- Vorzeichen von k verwechseln: Positives k → steigend, negatives k → fallend.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
\(f(x) = 5x - 2\) ist:
\(f(x) = -2x + 7\) ist:
\(f(x) = x^2\) für \(x > 0\):
Wo wechselt \(f(x) = (x-3)^2\) die Monotonie?
\(f(x) = -x^2 + 4\). Für x < 0 ist f:
Was bedeutet „streng" monoton steigend?