Wann braucht man die Polynomdivision?

Wenn du eine Gleichung wie \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) lösen musst und eine Nullstelle (z. B. \(x_1 = 1\)) kennst, kannst du durch \((x-1)\) dividieren und erhältst ein Polynom niedrigeren Grades.

Prinzip
Polynom ÷ (x − Nullstelle) = Polynom niedrigeren Grades

Eine bekannte Nullstelle „abspalten", um den Rest einfacher zu lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Beispiel: \((x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x - 1)\)
1
Ersten Term dividieren: \(x^3 \div x = x^2\) → erster Term des Ergebnisses
2
Multiplizieren: \(x^2 \cdot (x-1) = x^3 - x^2\)
3
Subtrahieren: \((x^3 - 6x^2) - (x^3 - x^2) = -5x^2\)
4
Nächsten Term herunterholen: \(-5x^2 + 11x\)
5
Wiederholen: \(-5x^2 \div x = -5x\). Dann: \(-5x \cdot (x-1) = -5x^2 + 5x\)
6
Subtrahieren: \((-5x^2+11x) - (-5x^2+5x) = 6x\)
7
Herunterholen: \(6x - 6\). Division: \(6x \div x = 6\)
8
\(6 \cdot (x-1) = 6x - 6\). Subtrahieren: \(0\) → Rest = 0 ✓
✓
Ergebnis: \(\mathbf{x^2 - 5x + 6}\). Weiter lösen: \((x-2)(x-3)\)

Nullstelle finden (Raten)

Trick: Teiler des Absolutglieds
Ganzzahlige Nullstellen sind Teiler des letzten Koeffizienten

Bei \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\): Teiler von 6 testen → ±1, ±2, ±3, ±6

Probe: Einsetzen

\(f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\) ✓ → \(x_1 = 1\) ist Nullstelle!

Komplettes Beispiel: Alle Nullstellen

\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)
1
Nullstelle raten: \(f(1) = 0\) → \(x_1 = 1\)
2
Polynomdivision: \((x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x-1) = x^2 - 5x + 6\)
3
Quadratische Gleichung lösen: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
4
pq-Formel oder Faktorisieren: \((x-2)(x-3) = 0\)
✓
Nullstellen: \(\mathbf{x_1 = 1, \; x_2 = 2, \; x_3 = 3}\)

Was, wenn ein Rest bleibt?

Wenn der Rest ≠ 0 ist, war die getestete Zahl keine Nullstelle. Du musst eine andere Zahl probieren.

⚠️ Tipp: Wenn \(f(a) \neq 0\), dann geht die Division durch \((x-a)\) nicht auf. Teste andere Teiler des Absolutglieds!

Häufige Fehler vermeiden

  • Vorzeichen beim Subtrahieren: Minus × Minus = Plus! Sorgfältig mit den Vorzeichen arbeiten.
  • Fehlende Potenzen: Wenn z. B. \(x^2\) fehlt, als \(0x^2\) schreiben (Platzhalter!).
  • Falsche Nullstelle: Immer durch Einsetzen kontrollieren: \(f(a) = 0\)?
  • Ergebnis nicht weiter lösen: Das Restpolynom noch mit pq-Formel o. Ä. lösen!

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

Wann brauchst du die Polynomdivision?

Aufgabe 2Leicht

x₁ = 2 ist Nullstelle. Durch welchen Term dividierst du?

Aufgabe 3Mittel

\(x^3 \div x = \)?

Aufgabe 4Mittel

Rest ≠ 0 bei der Division. Was bedeutet das?

Aufgabe 5Schwer

\((x^2 + 5x + 6) \div (x + 2) = \)?

Aufgabe 6Schwer

Wo testest du zuerst ganzzahlige Nullstellen?

🎯 Dein Ergebnis
0 / 6 richtig