Gleichartige Terme zusammenfassen
Du darfst nur Terme zusammenfassen, die dieselbe Variable in derselben Potenz haben. Solche Terme heißen gleichartig:
| Gleichartig ✓ | Nicht gleichartig ✗ |
|---|---|
| \(3x\) und \(5x\) | \(3x\) und \(5x^2\) |
| \(2a^2\) und \(-7a^2\) | \(2a^2\) und \(3a\) |
| \(4\) und \(-9\) (Zahlen) | \(4\) und \(4x\) |
| \(xy\) und \(3xy\) | \(xy\) und \(x^2y\) |
Regel
Nur die Koeffizienten (Vorzahlen) werden addiert/subtrahiert – der Variablenteil bleibt gleich
Beispiel: \(3x + 7x - 2x\)
1
Alle Terme haben die Variable \(x\) → gleichartig
2
Koeffizienten zusammenfassen: \(3 + 7 - 2 = 8\)
3
Ergebnis: \(\mathbf{8x}\)
Beispiel: \(5a^2 + 3a - 2a^2 + 7a - 4\)
1
Gleichartige Terme markieren: \(\color{blue}{5a^2} + \color{red}{3a} \color{blue}{- 2a^2} + \color{red}{7a} - 4\)
2
\(a^2\)-Terme: \(5a^2 - 2a^2 = 3a^2\)
3
\(a\)-Terme: \(3a + 7a = 10a\)
4
Ergebnis: \(\mathbf{3a^2 + 10a - 4}\)
Klammern auflösen
Plus vor der Klammer
Ein + vor der Klammer: Die Klammer fällt einfach weg.
Plus vor Klammer
\(+(a + b) = a + b\)
Minus vor der Klammer
Ein − vor der Klammer: Alle Vorzeichen in der Klammer drehen sich um!
Minus vor Klammer
\(-(a + b) = -a - b\) und \(-(a - b) = -a + b\)
Beispiel: \(5x - (3x - 2)\)
1
Minus vor Klammer → Vorzeichen umdrehen: \(5x - 3x + 2\)
2
Zusammenfassen: \(\mathbf{2x + 2}\)
Faktor vor der Klammer (Ausmultiplizieren)
Distributivgesetz
\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)
Beispiel: \(3(2x + 4) - 2(x - 1)\)
1
Ausmultiplizieren: \(6x + 12 - 2x + 2\)
2
Zusammenfassen: \(\mathbf{4x + 14}\)
Ausklammern
Ausklammern ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Du suchst einen gemeinsamen Faktor:
Beispiel: \(6x + 9\)
1
Gemeinsamer Faktor: 3
2
\(6x + 9 = \mathbf{3(2x + 3)}\)
Beispiel: \(4x^2 - 8x\)
1
Gemeinsamer Faktor: \(4x\)
2
\(4x^2 - 8x = \mathbf{4x(x - 2)}\)
Zusammenfassung: Strategie
So gehst du vor:
1
Klammern auflösen (Vorzeichen beachten!)
2
Gleichartige Terme sortieren
3
Koeffizienten zusammenfassen
4
Ergebnis aufschreiben (höchste Potenz zuerst)
Häufige Fehler vermeiden
- Nicht-gleichartige Terme zusammenfassen: \(3x + 5x^2 \neq 8x^2\)! Die Variablenteile müssen identisch sein.
- Vorzeichen bei Minus vor Klammer: \(-(3x - 2) = -3x + 2\), nicht \(-3x - 2\)!
- Distributivgesetz vergessen: \(2(x + 3) = 2x + 6\), nicht \(2x + 3\) – beide Terme multiplizieren!
- \(x\) und \(x^2\) verwechseln: Das sind verschiedene Terme. \(x + x = 2x\), aber \(x \cdot x = x^2\).
- Vorzeichen vergessen: Denke daran: \(-2x\) hat den Koeffizienten \(-2\), nicht 2.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
Vereinfache: \(4x + 3x - x\)
Aufgabe 2Leicht
Welche Terme sind gleichartig?
Aufgabe 3Mittel
Vereinfache: \(-(4x - 3)\)
Aufgabe 4Mittel
Vereinfache: \(2(3x + 1) - (x - 5)\)
Aufgabe 5Schwer
Vereinfache: \(3x^2 + 5x - 2x^2 - 3x + 7\)
Aufgabe 6Schwer
Klammere aus: \(6x^2 - 9x\)
Dein Ergebnis
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