Die Plusklammer
Steht ein Plus (oder gar kein Vorzeichen) vor der Klammer, kannst du die Klammer einfach weglassen. Alle Vorzeichen in der Klammer bleiben gleich.
Klammer fällt weg, Vorzeichen bleiben
\(5 + (3x + 2) = 5 + 3x + 2 = 3x + 7\)
\(4a + (2a - 3b + 1) = 4a + 2a - 3b + 1 = 6a - 3b + 1\)
\(x + (x + y - z) = x + x + y - z = 2x + y - z\)
💡 Merke: Bei einer Plusklammer ändert sich gar nichts - du entfernst einfach nur die Klammer.
Die Minusklammer
Steht ein Minus vor der Klammer, musst du beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen: Plus wird zu Minus, Minus wird zu Plus.
Klammer fällt weg, alle Vorzeichen drehen sich um
\(5 - (3x + 2) = 5 - 3x - 2 = -3x + 3\)
\(7a - (2a - 3b + 1) = 7a - 2a + 3b - 1 = 5a + 3b - 1\)
\(10 - (x - y + 4) = 10 - x + y - 4 = -x + y + 6\)
⚠️ Häufigster Fehler: Nur das erste Vorzeichen in der Klammer umdrehen und den Rest vergessen! Bei der Minusklammer drehen sich alle Vorzeichen um - nicht nur das erste!
Warum dreht sich das Vorzeichen um? Das Minus vor der Klammer bedeutet: "Multipliziere alles in der Klammer mit \(-1\)". Und \(-1 \cdot (+a) = -a\), \(-1 \cdot (-c) = +c\). Deshalb dreht sich jedes Vorzeichen um.
Ausmultiplizieren
Steht eine Zahl oder Variable vor der Klammer, musst du jeden Summanden in der Klammer einzeln mit diesem Faktor multiplizieren:
Distributivgesetz: Jeder Term wird einzeln multipliziert
\(3 \cdot (x + 4) = 3x + 12\)
\(5 \cdot (2a - 3) = 10a - 15\)
\(-2 \cdot (x + 5) = -2x - 10\)
\(-4 \cdot (3x - 2y + 1) = -12x + 8y - 4\)
\(x \cdot (x + 3) = x^2 + 3x\)
\(2a \cdot (3a - b) = 6a^2 - 2ab\)
💡 Vorzeichenregeln beim Ausmultiplizieren:
\(+ \cdot + = +\) | \(+ \cdot - = -\) | \(- \cdot + = -\) | \(- \cdot - = +\)
Kurz: Gleiche Vorzeichen → Plus, verschiedene → Minus.
Zwei Klammern ausmultiplizieren
Wenn zwei Klammern miteinander multipliziert werden, muss jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert werden:
Zusammenfassen: \(x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15\)
\(2x \cdot x + 2x \cdot 4 + (-1) \cdot x + (-1) \cdot 4\)
\(= 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\)
Sonderfälle: Binomische Formeln
Drei besonders häufige Doppelklammern sind die binomischen Formeln. Sie kommen so oft vor, dass du sie auswendig können solltest:
| Formel | Ausmultipliziert |
|---|---|
| \((a + b)^2\) | \(a^2 + 2ab + b^2\) |
| \((a - b)^2\) | \(a^2 - 2ab + b^2\) |
| \((a + b)(a - b)\) | \(a^2 - b^2\) |
Übersicht: Alle Regeln
| Situation | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| \(+(\ )\) | Klammer weglassen | \(+(a-b) = a - b\) |
| \(-(\ )\) | Vorzeichen umdrehen | \(-(a-b) = -a + b\) |
| \(c \cdot (\ )\) | Jeden Term × c | \(3(a-b) = 3a - 3b\) |
| \((\ ) \cdot (\ )\) | Jeder × Jeden | \((a+b)(c+d)\) |
Häufige Fehler vermeiden
- Minusklammer: nur erstes Vorzeichen umdrehen: Bei \(-(3x - 2y + 1)\) müssen alle drei Vorzeichen umgedreht werden: \(-3x + 2y - 1\).
- Minus mit Minus: Ergebnis ist Plus! \(-2 \cdot (-3x) = +6x\), nicht \(-6x\).
- Zusammenfassen vergessen: Nach dem Ausmultiplizieren die gleichartigen Terme zusammenfassen! \(3x + 5x = 8x\).
- Doppelklammer: nicht alle Produkte bilden: Bei \((a+b)(c+d)\) sind es 4 Produkte (2 × 2). Nichts vergessen!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
\(5 + (2x - 3) = ?\)
\(8 - (3x + 2) = ?\)
\(4 \cdot (2x - 3) = ?\)
\(-3 \cdot (x - 5) = ?\)
\((x + 2) \cdot (x + 5) = ?\)
\(3(x + 2) - 2(x - 4) = ?\)