Formen quadratischer Gleichungen
Allgemeine Form
\(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a \neq 0\)
Normalform (für pq-Formel)
\(x^2 + px + q = 0\)
Entsteht durch Division durch \(a\)
| Spezialfall | Form | Einfachste Methode |
|---|---|---|
| Reinquadratisch | \(ax^2 + c = 0\) (kein \(x\)) | Umformen + Wurzel ziehen |
| Ohne Absolutglied | \(ax^2 + bx = 0\) (kein \(c\)) | Ausklammern |
| Vollständig | \(ax^2 + bx + c = 0\) | pq-Formel / abc-Formel |
Methode 1: Reinquadratische Gleichung
Wenn kein \(x\)-Term (nur \(x^2\)) vorkommt, löst du durch Umformen:
Beispiel: \(3x^2 - 27 = 0\)
1
\(3x^2 = 27\)
2
\(x^2 = 9\)
3
\(x = \pm\sqrt{9}\) → \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\)
⚠️ Achtung: Beim Wurzelziehen gibt es immer \(\pm\)! Vergiss die negative Lösung nicht.
Methode 2: Ausklammern
Wenn das Absolutglied \(c\) fehlt, klammere \(x\) aus:
Beispiel: \(x^2 - 5x = 0\)
1
Ausklammern: \(x(x - 5) = 0\)
2
Satz vom Nullprodukt: \(x = 0\) oder \(x - 5 = 0\)
3
\(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\)
Methode 3: pq-Formel
Die universelle Methode für alle quadratischen Gleichungen in Normalform:
pq-Formel
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)
Beispiel: \(x^2 + 2x - 8 = 0\)
1
\(p = 2\), \(q = -8\)
2
\(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 - (-8)} = -1 \pm \sqrt{9} = -1 \pm 3\)
3
\(x_1 = 2\), \(x_2 = -4\)
Anzahl der Lösungen
Die Diskriminante \(D\) verrät dir, wie viele Lösungen es gibt:
Diskriminante
\(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\) bzw. \(D = b^2 - 4ac\)
| \(D\) | Lösungen | Graph |
|---|---|---|
| \(D > 0\) | Zwei verschiedene Lösungen | Parabel schneidet x-Achse zweimal |
| \(D = 0\) | Eine Doppellösung | Parabel berührt x-Achse |
| \(D < 0\) | Keine reelle Lösung | Parabel schneidet x-Achse nicht |
abc-Formel (große Lösungsformel)
Die abc-Formel funktioniert direkt mit der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c = 0\):
abc-Formel
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Beispiel: \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)
1
\(a=2\), \(b=3\), \(c=-2\)
2
\(x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}\)
3
\(x_1 = \frac{2}{4} = 0{,}5\), \(x_2 = \frac{-8}{4} = -2\)
Welche Methode wählen?
| Gleichungstyp | Erkennungsmerkmal | Beste Methode |
|---|---|---|
| \(x^2 = k\) | Kein \(x\)-Term | Wurzel ziehen |
| \(x^2 + bx = 0\) | Kein Absolutglied | Ausklammern |
| \(x^2 + px + q = 0\) | Normalform | pq-Formel |
| \(ax^2 + bx + c = 0\) | \(a \neq 1\) | abc-Formel oder erst durch \(a\) teilen |
Häufige Fehler vermeiden
- ± vergessen: \(x^2 = 9\) hat zwei Lösungen: \(x = +3\) und \(x = -3\)!
- Nicht in Normalform: Für die pq-Formel muss vor \(x^2\) eine 1 stehen.
- Vorzeichen von p und q: Achte genau auf Plus und Minus beim Ablesen.
- Ausklammern übersehen: \(x^2 - 4x = 0\) → Nicht pq-Formel, sondern einfach \(x(x-4) = 0\).
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
Löse: \(x^2 = 25\)
Aufgabe 2Leicht
Löse: \(x^2 + 3x = 0\)
Aufgabe 3Mittel
Löse: \(x^2 - 7x + 10 = 0\)
Aufgabe 4Mittel
Wie viele Lösungen hat \(x^2 + 4 = 0\)?
Wie viele Lösungen hat \(x^2 + 4 = 0\)?
Aufgabe 5Schwer
Welche Methode ist am besten für \(4x^2 - 12x = 0\)?
Aufgabe 6Schwer
Löse mit abc-Formel: \(2x^2 - 6x + 4 = 0\)
Dein Ergebnis
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