Das Grundprinzip
Äquivalenzumformung
Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen Seite tun!
So bleibt die Gleichung immer „im Gleichgewicht"
| Operation | Umkehroperation | Beispiel |
|---|---|---|
| + a | − a | \(x + 3 = 7\) → \(x = 7 - 3\) |
| − a | + a | \(x - 5 = 2\) → \(x = 2 + 5\) |
| · a | ÷ a | \(3x = 12\) → \(x = 12 \div 3\) |
| ÷ a | · a | \(\frac{x}{4} = 5\) → \(x = 5 \cdot 4\) |
| \(x^2\) | \(\sqrt{\phantom{x}}\) | \(x^2 = 25\) → \(x = \pm 5\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(()^2\) | \(\sqrt{x} = 3\) → \(x = 9\) |
Strategie zum Umstellen
So gehst du vor:
1
Markiere die Variable, nach der du umstellen willst
2
Löse zuerst Additionen/Subtraktionen auf (+ und − wegholen)
3
Dann Multiplikationen/Divisionen auflösen (· und ÷ wegholen)
4
Zuletzt Potenzen/Wurzeln auflösen
Merkhilfe: „Zwiebel schälen" – du arbeitest von außen nach innen. Die letzte Rechenoperation, die auf die Variable wirkt, wird zuerst rückgängig gemacht.
Beispiele aus der Geometrie
Rechteck: Fläche nach b umstellen
\(A = a \cdot b\) → nach \(b\) umstellen
1
\(b\) wird mit \(a\) multipliziert → Umkehroperation: durch \(a\) dividieren
2
\(\frac{A}{a} = b\) → \(\mathbf{b = \frac{A}{a}}\)
Kreis: Umfang nach r umstellen
\(U = 2\pi r\) → nach \(r\) umstellen
1
\(r\) wird mit \(2\pi\) multipliziert → durch \(2\pi\) dividieren
2
\(\mathbf{r = \frac{U}{2\pi}}\)
Kreisfläche: nach r umstellen
\(A = \pi r^2\) → nach \(r\) umstellen
1
Durch \(\pi\) dividieren: \(\frac{A}{\pi} = r^2\)
2
Wurzel ziehen: \(\mathbf{r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}}\)
Beispiele aus der Physik
Geschwindigkeit
\(v = \frac{s}{t}\) → nach \(s\) und nach \(t\) umstellen
Nach \(s\): Beide Seiten · \(t\) → \(\mathbf{s = v \cdot t}\)
Nach \(t\): Aus \(s = v \cdot t\) durch \(v\) → \(\mathbf{t = \frac{s}{v}}\)
Pythagoras
\(c^2 = a^2 + b^2\) → nach \(a\) umstellen
1
\(b^2\) subtrahieren: \(c^2 - b^2 = a^2\)
2
Wurzel ziehen: \(\mathbf{a = \sqrt{c^2 - b^2}}\)
Formeln mit Brüchen
\(\frac{a}{b} = c\) → nach \(a\) umstellen
Beide Seiten · \(b\): \(\mathbf{a = b \cdot c}\)
\(\frac{a}{b} = c\) → nach \(b\) umstellen
1
Beide Seiten · \(b\): \(a = b \cdot c\)
2
Durch \(c\) dividieren: \(\mathbf{b = \frac{a}{c}}\)
Häufige Fehler vermeiden
- Nur auf einer Seite umformen: Was du links machst, musst du IMMER auch rechts machen!
- Reihenfolge falsch: Erst + / − auflösen, dann · / ÷, dann Potenzen/Wurzeln.
- ± bei Wurzel vergessen: \(x^2 = 16\) → \(x = \pm 4\) (in Geometrie meist nur +).
- Division durch 0: Prüfe, ob die Variable, durch die du teilst, nicht Null sein kann.
- Vorzeichen vergessen: Beim Subtrahieren auf beiden Seiten genau auf Plus und Minus achten.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
\(A = a \cdot b\) nach \(a\) umgestellt:
Aufgabe 2Leicht
\(v = \frac{s}{t}\) nach \(s\) umgestellt:
Aufgabe 3Mittel
\(U = 2\pi r\) nach \(r\) umgestellt:
Aufgabe 4Mittel
\(c^2 = a^2 + b^2\) nach \(b\) umgestellt:
Aufgabe 5Schwer
\(A = \pi r^2\) nach \(r\) umgestellt:
Aufgabe 6Schwer
\(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\) nach \(h\) umgestellt:
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