Was ist eine Bruchgleichung?

Bruchgleichung
Die Variable \(x\) steht im Nenner

Beispiel: \(\frac{3}{x} = 6\) oder \(\frac{x+1}{x-2} = 4\)

GleichungBruchgleichung?Warum?
\(\frac{3}{x} = 6\)✓ Jax steht im Nenner
\(\frac{x}{3} = 6\)✗ Neinx steht im Zähler → lineare Gleichung
\(\frac{2}{x+1} + \frac{1}{x} = 3\)✓ Jax steht in beiden Nennern

Lösungsschritte

Die 4 Schritte
1
Definitionsmenge bestimmen: Nenner ≠ 0 → welche x-Werte sind verboten?
2
Hauptnenner finden und beide Seiten damit multiplizieren
3
Gleichung lösen (jetzt ohne Brüche)
4
Probe: Lösung in Definitionsmenge? In Originalgleichung einsetzen!

Beispiel 1: Einfach

\(\frac{12}{x} = 4\)
1
Definitionsmenge: \(x \neq 0\)
2
Mit \(x\) multiplizieren: \(12 = 4x\)
3
\(x = 3\)
4
Probe: \(\frac{12}{3} = 4\) ✓ und \(3 \neq 0\) ✓ → \(\mathbf{x = 3}\)

Beispiel 2: Zwei Brüche

\(\frac{3}{x-1} = \frac{6}{x+2}\)
1
Definitionsmenge: \(x \neq 1\) und \(x \neq -2\)
2
Kreuzweise multiplizieren: \(3(x+2) = 6(x-1)\)
3
\(3x + 6 = 6x - 6\) → \(12 = 3x\) → \(x = 4\)
4
Probe: \(\frac{3}{3} = 1\) und \(\frac{6}{6} = 1\) ✓ → \(\mathbf{x = 4}\)

Scheinlösungen

⚠️ Achtung: Manchmal liefert die Rechnung einen Wert, der nicht in der Definitionsmenge liegt. Das nennt man eine Scheinlösung – die Gleichung hat dann keine Lösung!

Beispiel: \(\frac{x}{x-3} = \frac{3}{x-3} + 1\)
1
Definitionsmenge: \(x \neq 3\)
2
Mit \((x-3)\) multiplizieren: \(x = 3 + (x-3)\) → \(x = x\)
3
Das gilt für alle x – aber \(x = 3\) ist ausgeschlossen → \(\mathbb{L} = \mathbb{R} \setminus \{3\}\)

Häufige Fehler vermeiden

  • Definitionsmenge vergessen: IMMER zuerst prüfen, welche Werte verboten sind!
  • Probe vergessen: Die Lösung muss in der Definitionsmenge liegen UND die Gleichung erfüllen.
  • Nur einen Nenner multiplizieren: Beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren!
  • Vorzeichen beim Auflösen: Besonders bei \((x-a)\) sorgfältig ausmultiplizieren.

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

\(\frac{10}{x} = 5\). Lösung?

Aufgabe 2Leicht

Was ist der erste Schritt bei Bruchgleichungen?

Aufgabe 3Mittel

Definitionsmenge von \(\frac{5}{x-3}\)?

Aufgabe 4Mittel

Was ist eine Scheinlösung?

Aufgabe 5Schwer

\(\frac{2}{x+1} = \frac{4}{x+5}\). Lösung?

Aufgabe 6Schwer

Ist \(\frac{x}{5} = 3\) eine Bruchgleichung?

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